머리아픈 반박

이탈리아의 철학자 제논은 3가지 역설을 제시하였고 2000년 후 칸토어에 의해 수학적으로 반박되었다.

칸토어의 무한의 개념을 이용하여 반박하면 제논이 역설을 제시할 당시 수학자들은 무한에 대한 개념이 없었기에 오랫동안 해결되지 않았다.

먼저 아킬레우스와 거북이이다. 거북이가 움직인 거리를 10m, 1m, 0.1m 이런식으로 모두 더하면 11.1111....m이고 이 숫자는 100/9m가 되므로 100/9m후에는 아킬레우스가 앞지른다.

둘째는 이분법의 역설이다. A지점에서 B지점으로 가는 거리의 반을 1초라 하면 또 그 반을 1/2초, 또 반을 1/4, 1/8.....이 된다. 이 거리를 다 더하면 1+1/2+1/4....이 되고 이는 결국 2에 수렴하므로 2초 후 어떤 물체는 A지점에서  B지점에 도달한다. 역시 무한의 개념이 잘 갖추어지지 않았기 때문에 이런일이 생겼다.

셋째는 화살의 역설이다. 화살이 날아가때 어느 시점을 보면 화살은 어느 점에 멈춰있는데, 이는 애초에 제논이 시간을 쪼갤수 있는 존재로 취급했기 때문에 역설 자체가 거짓이다.