우리는 미분을 왜 배울까?
미분은 한마디로 순간적인 변화라고 할 수 있습니다. 이는 17세기 말 영국의 뉴턴, 독일의 라이프니츠에 의하여 발견된 개념입니다. 이러한 미분의 발견으로 역연산 개념인 부정적분이 정의되고, 부정적분의 발견으로 정적분의 계산이 가능케 되는 등 미분은 이후의 수학사 발전에 엄청난 영향을 끼쳤다고 할 수 있습니다. 그렇다면 물리학자로 잘 알려진 뉴턴이 어쩌다 수학적 개념인 미분을 고안해내게 되었을까요? 뉴턴에게 수학은 물리학을 연구하기 위한 수단이었습니다. 그래서 그는 물체의 운동과 그 변화를 나타내기 위한 역학적인 관점에서 미분의 아이디어를 생각해냈습니다. 뉴턴과 달리 페르마, 라이프니츠 등의 수학자들은 곡선에 접선을 긋는 문제로부터 미분의 아이디어에 도달하였습니다. 뉴턴과 라이프니츠는 각기 다른 방법으로 미분의 아이디어에 도달했음에도 불구하고 둘 사이의 우선권 논쟁은 매우 치열했다고 합니다. 이 대립은 뉴턴의 출생지인 영국과 라이프니츠가 출생한 독일이 속한 유럽의 싸움으로 번졌고 영국학술협회에서 라이프니츠가 뉴턴의 아이디어를 표절했다는 불합리한 평을 내리는 것으로 이어지기도 했습니다. 치열한 분쟁 끝에 두 사람이 각기 독립적으로 연구했고, 미적분학의 발견은 뉴턴이 앞섰지만 발표는 라이프니츠가 먼저인 것으로 결론을 내린 상태입니다. 또한, 미적분학의 가장 큰 강점이라 할 수 있는 기호표현에서는 현대적인 수학 기호 ∫과 dx, dy와 더 유사했던 라이프니츠의 기호가 뉴턴의 기호보다 우위에 있었음을 인정하였습니다. 이렇게 해서 미분의 탄생에 대해 알아보았습니다. 그리고 지금부터는 본격적인 미분의 실생활에서의 활용에 대해 알려드리도록 하겠습니다. 가장 처음 말씀드렸듯 미분은 순간적인 변화를 설명하는 도구입니다. 따라서 지속적으로 변화해나가는 값을 구하거나 이 값을 이용할 시에 활용이 가능해집니다. 그래서 미분이 활용될 수 있는 첫 번째 분야는 영화입니다. 여기서 영화는 빅히어로와 같은 애니메이션과 명량과 같은 대규모 실사영화를 모두 가리킨다고 볼 수 있습니다. 애니메이션은 기본적으로 애니메이션 작가가 그리는 밑그림을 기초로 합니다. 하지만 평면 즉, 2D인 그림으로 움직임을 표현하는 데에는 한계가 있을 수밖에 없습니다. 왜냐하면 엄청난 양의 수작업이 요해지고 이러한 과정에서 정확성이 매우 떨어지기 때문입니다. 결국, 완성도 있는 애니메이션을 구현하지 못하게 되죠. 이 때 미분을 활용한 공식을 대입한다면 크기가 변화하거나 동작의 변화가 생겨도 선이 어떻게 이어질지 예측이 가능해져 작가들의 수작업을 확 줄일 수 있습니다. 따라서 제작기간과 제작 비용을 아낄 수 있다는 큰 장점이 있습니다. 그래서인지 픽사의 대표적인 애니매이션인 토이스토리를 제작할 때 스티브 잡스는 만화작가 아닌 수학작들을 대거 영입했다고 합니다. 더불어, 명량과 같이 CG를 요하는 영화나 유체운동 방정식을 활용한 컴퓨터 그래픽을 표현한 영화에서도 미분공식을 적용될 수 있습니다. 순간적으로 일어나는 변화를 측정하고 예측하는 것이 가장 중요한 분야인 스포츠에서도 미분의 역할이 두드러지고 있습니다. 운동의 효율성을 높이는 의상이나 기구를 만들기 위해서는 시간에 따른 선수의 속도 변화 및 운동 환경의 저항과 변화 등을 수학적으로 표현할 수 있어야하기 때문입니다. 특히, 야구에서는 투수가 던지는 공의 속도로 순간변화율 즉 미분게수를 구해 선수별로 능력치를 파악하는 기준이 있기도 합니다. 다음으로 미분의 원리를 따르는 예시에는 말 그대로 순간적인 속도를 계산하여 자동차의 과속여부를 결정짓는 무인단속 카메라가 있습니다. 주로 무인단속카메라는 카메라 직전 약 10M 간격에 설치된 감지선을 지나는데 걸리는 시간과 속도를 측정하여 과속 판단합니다. 이러한 과정은 구간의 폭이 0에 점점 가까워질수록 평균속도가 순간속도에 가까워지는 미분의 원리를 이용하여 이루어집니다. 마지막으로, 건축학에서도 미분의 실생활 적용 사례를 많이 만나볼 수 있습니다. 자동차가 곡선 도로를 빠져나와 직선 도로에 진입할 때, 운전자가 안전하게 진입할 수 있기 위해서는 수학적 원리에 따른 도로 설계가 필요합니다. 이러한 도로설계는 곡선의 접선을 이용합니다. 곡선 도로 위를 달리는 자동차는 곡선의 접선 방향으로 나아가려는 성질이 있습니다. 따라서 곡선 도로가 끝나는 지점에 연결되는 직선 도로가 곡선도로의 접선이 되어야 자동차의 안전한 진입이 가능합니다. 즉, 직선 도로 설계 시에 곡선도로의 접선을 구하는 것은 필수적이며 미분 공식의 활용은 불가피하다는 뜻입니다. 이 외에도 미분은 밀물과 썰물의 원리, 금융 상품의 손익 관찰, 빵을 굽는 오븐의 온도 설정, 에어컨 온도 설정 등에 알게 모르게 사용되고 있습니다. ‘변하는 모든 것에 미분이 있고 더하는 모든 것에 적분이 있다‘라는 [미적분으로 바라본 하루]의 저자 오스카 E.페르난데스의 말처럼 미적분의 실용성은 정말 무궁무진한 거 같습니다.